Lee Susan的部落格

94政大財管的微積分有一題考題：

給定

∫exp[-(x-a)²/2]dx=(√2π)

上下界是-∞,+∞的瑕積分

求∫x²exp[-(x-a)²/2]dx=?

(sol) 這題可以用很多種方法求出答案，直覺上我會用統計的方式求解

（法一）

已知∫exp[-(x-a)²/2]dx=(√2π)

→∫1/(√2π)*exp[-(x-a)²/2]dx=1

這是一個常態分配, ~N(a, 1)

E(x)=a, Var(x)=1=E(x²)-(E(x))²

∴E(x²) = Var(x)+(E(x))²=1+a²

E(x²) =∫1/(√2π)*x²exp[-(x-a)²/2]dx

= Var(x)+(E(x))²=1+a²…(1)

Equation (1)兩邊同成(√2π)

得到(√2π)*∫1/(√2π)*x²exp[-(x-a)²/2]dx

=(√2π)( 1+a²)  得到答案

（法二）

用微積分的方法來解題：

使用萊布尼茲法則（Liebnitz’s Rule），這一題乍看之下用Liebnitz’s Rule一下子就可以解出來了，實際上算過發現要用兩次

先令I₁(a)= ∫exp[-(x-a)²/2]dx=(√2π)

Liebnitz’s Rule, 對I₁(a)兩邊微分：

I₁’(a)=d/da(∫exp[-(x-a)²/2] )dx

∵微積分第一定理

∴I₁’(a)=∫(d/da exp[-(x-a)²/2] )dx  

(從這裡開始的微分嚴格來說應該用偏微分的符號，

不過我找不到他的符號，所以用全微分『d』代替)

→I₁’(a)=∫(d/da exp[-(x-a)²/2] )dx

=∫(x-a)*exp[-(x-a)²/2]dx=0

整理得下式：

∫x*exp[-(x-a)²/2]dx=∫a*exp[-(x-a)²/2]dx

= a∫exp[-(x-a)²/2]dx=a*(√2π)

令I₂(a)=∫x*exp[-(x-a)²/2]dx

Liebnitz’s Rule, 對I₂(a)兩邊微分：

I₂’(a)=d/da(∫x*exp[-(x-a)²/2]dx)

=∫{d/da( x*exp[-(x-a)²/2])}dx

=∫x*(x-a)*exp[-(x-a)²/2]dx

=∫x²*exp[-(x-a)²/2]dx-a*∫x*exp[-(x-a)²/2]dx

=(√2π)

整理上式，可得下式：

∫x²*exp[-(x-a)²/2]dx-a*a*(√2π)

=(√2π)

故得∫x²*exp[-(x-a)²/2]dx=(√2π)*(1+a²)

得到答案

在微積分的考卷裡，這一題如果用（法一）的方式解題，比較不是很正統

改考卷的老師不一定會給分，畢竟這是微積分的考試壓

當我看到題目的時候，我的直覺第一先是想到用統計的常態分配來解，

我覺得我的統計真是有點走火入魔了

這一題是財管所所出題的，常態分配是最基本的分配，算是common science

所以我用統計的角度來解會非常快速

用微積分來解這一題，運用Liebnitz’s Rule最快（不過計算量還是不小）

其他比較慢的方法，像是用『分部積分』，使用

∫udv=vu-∫vdu

在exp[-(x-a)²/2]這裡積分的時候會很慢，而且後面會用到雙重積分和極座標轉換。

如果用Gamma function來套用，這一題我直覺是覺得用Gamma function也可以解出來，不過還沒有實際去算過，而且最後還是會用到雙重積分和極座標轉換（除非有背公式，也許可以略過極座標轉換的步驟），計算量都比前面兩個方法來得大很多很多。

接下來如果有時間，我想用土法煉鋼法，再算一算這個題目。

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下學期沒意外的話還是會繼續當微積分教學助教

當助教最大的收穫就是會有很大的壓力逼迫自己學習

進步的速度比平常大很多