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研究:一個微積分題目
94政大財管的微積分有一題考題:
給定
∫exp[-(x-a)2/2]dx=(√2π)
上下界是-∞,+∞的瑕積分
求∫x2exp[-(x-a)2/2]dx=?
(sol) 這題可以用很多種方法求出答案,直覺上我會用統計的方式求解
(法一)
已知∫exp[-(x-a)2/2]dx=(√2π)
→∫1/(√2π)*exp[-(x-a)2/2]dx=1
這是一個常態分配, ~N(a, 1)
E(x)=a, Var(x)=1=E(x2)-(E(x))2
∴E(x2) = Var(x)+(E(x))2=1+a2
E(x2) =∫1/(√2π)*x2exp[-(x-a)2/2]dx
= Var(x)+(E(x))2=1+a2…(1)
Equation (1)兩邊同成(√2π)
得到(√2π)*∫1/(√2π)*x2exp[-(x-a)2/2]dx
=(√2π)( 1+a2) 得到答案
(法二)
用微積分的方法來解題:
使用萊布尼茲法則(Liebnitz’s Rule),這一題乍看之下用Liebnitz’s Rule一下子就可以解出來了,實際上算過發現要用兩次
先令I1(a)= ∫exp[-(x-a)2/2]dx=(√2π)
Liebnitz’s Rule, 對I1(a)兩邊微分:
I1’(a)=d/da(∫exp[-(x-a)2/2] )dx
∵微積分第一定理
∴I1’(a)=∫(d/da exp[-(x-a)2/2] )dx
(從這裡開始的微分嚴格來說應該用偏微分的符號,
不過我找不到他的符號,所以用全微分『d』代替)
→I1’(a)=∫(d/da exp[-(x-a)2/2] )dx
=∫(x-a)*exp[-(x-a)2/2]dx=0
整理得下式:
∫x*exp[-(x-a)2/2]dx=∫a*exp[-(x-a)2/2]dx
= a∫exp[-(x-a)2/2]dx=a*(√2π)
令I2(a)=∫x*exp[-(x-a)2/2]dx
Liebnitz’s Rule, 對I2(a)兩邊微分:
I2’(a)=d/da(∫x*exp[-(x-a)2/2]dx)
=∫{d/da( x*exp[-(x-a)2/2])}dx
=∫x*(x-a)*exp[-(x-a)2/2]dx
=∫x2*exp[-(x-a)2/2]dx-a*∫x*exp[-(x-a)2/2]dx
=(√2π)
整理上式,可得下式:
∫x2*exp[-(x-a)2/2]dx-a*a*(√2π)
=(√2π)
故得∫x2*exp[-(x-a)2/2]dx=(√2π)*(1+a2)
得到答案
在微積分的考卷裡,這一題如果用(法一)的方式解題,比較不是很正統
改考卷的老師不一定會給分,畢竟這是微積分的考試壓
當我看到題目的時候,我的直覺第一先是想到用統計的常態分配來解,
這一題是財管所所出題的,常態分配是最基本的分配,算是common science
所以我用統計的角度來解會非常快速
用微積分來解這一題,運用Liebnitz’s Rule最快(不過計算量還是不小)
其他比較慢的方法,像是用『分部積分』,使用
∫udv=vu-∫vdu
在exp[-(x-a)2/2]這裡積分的時候會很慢,而且後面會用到雙重積分和極座標轉換。
如果用Gamma function來套用,這一題我直覺是覺得用Gamma function也可以解出來,不過還沒有實際去算過,而且最後還是會用到雙重積分和極座標轉換(除非有背公式,也許可以略過極座標轉換的步驟),計算量都比前面兩個方法來得大很多很多。
接下來如果有時間,我想用土法煉鋼法,再算一算這個題目。
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下學期沒意外的話還是會繼續當微積分教學助教
當助教最大的收穫就是會有很大的壓力逼迫自己學習
進步的速度比平常大很多
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數學家:格裡戈里·佩雷爾曼(俄羅斯)
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菲爾茲獎的學術地位類似諾貝爾講,每次最多只有四個人獲選,他的領域比較偏向數學物理方面 這次公布的得獎名單,有一位學者是研究機率的領域,上次有幸聽到老師大略介紹一下他的得獎原因,因為這堂課的老師是研究相同領域的,所以在機率這塊研究上有人獲得數學界的諾貝爾獎,對老師來說算是一種振奮欣慰的快樂,畢竟學者都希望自己研究的領域是目前的主流導向。 不過這篇NEWS是介紹得獎名單中一位俄國的數學家 他解決了世紀難題費加洛猜想的證明 但是卻懶得去領獎,多年來他也懶得把著作放在知名期刊上 低調的程度被形容為數學界的隱士 在目前這個世界上,這個地球上幾乎所有的學者都汲汲營營於追求期刊發表的質與量 大部分的人都在追求學術地位的光環 只有他超脫了這些鄙俗的東西 連我都覺得追求學術光環是我畢生最大的願望 這個『光環』比鑽石上閃耀的七彩光芒還要炫目耀眼 所以對這位數學界的隱士致上崇高的敬意 (因為很累了懶得排版,有興趣的直接點超連結看全文吧) (OS:作息不正常,以後有某學校教授壯年猝死在研究室的新聞,主角可能就是我吧,不過人生聚聚散散,我也不打算結婚成家養小孩,沒有家纍的羈絆下,又何必活很久呢?) http://www.iht.com/articles/2006/08/15/news/math.php
Elusive proof, elusive prover: A new math mysteryBy Dennis Overbye The New York Times |